Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md

@@ -1,40 +1,26 @@
 # Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.
 
 ## Введение
-
-Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
+**Знакочередующиеся ряды** — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
 
 ## Признак Лейбница
-
-Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида:
-$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$
-где $b_n$ — положительные числа.
-
-Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
+**Признак Лейбница** позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}b_n$, где $b_n$ — положительные числа.
+*Признак Лейбница* утверждает, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
 1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$.
-2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
+2. $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$.
 
 ### Пример
-
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
-
-Проверим условия признака Лейбница:
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$.
+Проверим условия *признака Лейбница*:
 1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$.
-2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.
-
-Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница.
+2. $\lim\limits_{n\to\infty} \frac 1 n = 0$.
+Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ сходится по *признаку Лейбница*.
 
 ## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда
-
-Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
-$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$
-где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
+Для сходящегося *знакочередующегося ряда* $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} b_n}$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
+$|R_n| = |S-S_n| \leq b_{n+1}$, где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
 
 ### Пример
-
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
-
-Оценка остатка после $n$ членов:
-$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$
-
-Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
+Оценка остатка после $n$ членов: $|R_n| \leq \frac 1 {n+1}$
+Таким образом, остаток ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.