Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md

@@ -1,48 +1,40 @@
 # Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов
 
 ## Введение
+Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4#^da23a3|знакоположительных рядов]], сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.
 
-Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость знакоположительных рядов, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.
+## Формулировка
+Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд: $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$
 
-## Формулировка интегрального признака
+Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл: $\int\limits_1^\infty f(x)dx$
 
-Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд:
-$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$
-
-Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл:
-$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$
-
-## Доказательство интегрального признака
-
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n=\int_{1}^{n}f(x)dx$.
+## Доказательство
+Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n = \sum\limits_{k=1}^n f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n = \int\limits_1^n f(x)dx$.
 
 Поскольку $f(x)$ убывает, можно записать неравенства:
-$f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)$
+$f(k+1) \leq \int\limits_k^{k+1} f(x)dx \leq f(k)$
 
-Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем:
-$\sum_{k=2}^{n}f(k)\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$
+Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем: $\sum\limits_{k=2}^n f(k) \leq \int\limits_1^n f(x)dx \leq \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)$
 
-Или, что эквивалентно:
-$S_n-f(1)\leq I_n\leq S_{n-1}$
+Или, что эквивалентно: $S_n - f(1) \leq I_n \leq S_{n-1}$
 
-Если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
+Если интеграл $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$.
 
-Аналогично, если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
+Аналогично, если интеграл $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$.
 
 ## Примеры
-
 1. **Гармонический ряд**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$.
-
-Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
-$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty$
-
-Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ также расходится.
+	Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$.
+	
+	Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
+	$\int\limits_1^\infty \frac 1 x dx = \left[ \ln x \right]_1^\infty = \infty$
+	
+	Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ также расходится.
 
 2. **Обобщенный гармонический ряд**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$, где $p>1$.
-
-Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
-$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\left[-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}$
-
-Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ также сходится при $p>1$.
+	Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p>1$.
+	
+	Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
+	$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ -\frac 1 {(p-1)x^{p-1}} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$
+	
+	Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$ также сходится при $p>1$.