Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md

@@ -1,45 +1,37 @@
 # Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
 
 ## Введение
+**Знакоположительные ряды** — это ряды, все члены которых являются положительными числами ^da23a3
 
-Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
+Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
 
 ## Признак Даламбера
-
-Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
+**Признак Даламбера** позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
 
 Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
-$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
-
-- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
-- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
-- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
+$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
+- Если $L < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
+- Если $L > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ расходится.
+- Если $L = 1$, то *признак Даламбера* не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$.
+Вычислим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac n {2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac 1 2$
 
-Вычислим предел:
-$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$
+Поскольку $\frac 1 2 < 1$, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}$ сходится по *признаку Даламбера*.
 
-Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера.
+## Признак Коши
+**Признак Коши** (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
 
-## Признак Коши (корневой признак)
-
-Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
-
-Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
-$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
-
-- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
-- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
-- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
+Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
+- Если $L < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
+- Если $L > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ расходится.
+- Если $L = 1$, то *признак Коши* не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$.
+Вычислим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac n 2 \right)^n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac n 2 = \infty$
 
-Вычислим предел:
-$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$
-
-Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши.
+Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n$ расходится по *признаку Коши*.