Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md

@@ -1,45 +1,29 @@
 # Разложение в ряд Фурье непериодической функции
 
 ## Введение
-
 Ряд Фурье обычно используется для разложения периодических функций. Однако, для непериодических функций можно использовать интегральное преобразование Фурье.
 
 ## Интегральное преобразование Фурье
-
-Интегральное преобразование Фурье функции $f(x)$ определяется следующим образом:
-$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$
-
-где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$.
+**Интегральное преобразование Фурье** функции $f(x)$ определяется следующим образом: $F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}dx$, где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$.
 
 ## Обратное преобразование Фурье
-
-Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$:
-$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega$
+**Обратное преобразование Фурье** позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega x} d \omega$
 
 ## Примеры
+1. $f(x) = e^{-|x|}$
+	Вычислим *преобразование Фурье*:
+	$F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-|x|} e^{-i\omega x} dx = \int\limits_{-\infty}^0 e^xe^{-i\omega x}dx + \int\limits_0^\infty e^{-x}e^{-i\omega x} dx$
+	
+	Рассчитаем интегралы:
+	$F(\omega) = \left[ \frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega} \right]_{-\infty}^0 + \left[ \frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)} \right]_0^\infty = \frac 1 {1+\omega^2}$
+	
+	Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac 1 {1+\omega^2} e^{i\omega x} d \omega$
 
-### Пример 1: Функция $f(x)=e^{-|x|}$
-
-Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-|x|}$.
-
-Вычислим преобразование Фурье:
-$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}dx$
-
-Рассчитаем интегралы:
-$F(\omega)=\left[\frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega}\right]_{-\infty}^{0}+\left[\frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+\omega^2}$
-
-Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
-$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{i\omega x}d\omega$
-
-### Пример 2: Функция $f(x)=e^{-x^2}$
-
-Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-x^2}$.
-
-Вычислим преобразование Фурье:
-$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-i\omega x}dx$
-
-Используем известный результат:
-$F(\omega)=\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
-
-Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
-$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}e^{i\omega x}d\omega$
+2. $f(x)=e^{-x^2}$
+	Вычислим *преобразование Фурье*:
+	$F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-i\omega x}dx$
+	
+	Используем известный результат:
+	$F(\omega) = \sqrt \pi e^{-\omega^2/4}$
+	
+	Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью *обратного преобразования Фурье*: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \sqrt \pi e^{-\omega^2/4} e^{i\omega x} d\omega$