Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md

@@ -1,41 +1,32 @@
 # Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
 
 ## Введение
-
-Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
+**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
 
 ## Разложение функций произвольного периода
-
-Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид:
-$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$
-
-где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
-$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$
-$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
-$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
+Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда *ряд Фурье* для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left( a_n\cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) \right)$, где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
+- $a_0 = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) dx$
+- $a_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$
+- $b_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$
 
 ## Примеры
 
 ### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$
-
 Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
 
-Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$
-$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
-$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
+Вычислим *коэффициенты Фурье*:
+$a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^{L}x dx = 0$
+$a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0$
+$b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
-$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
+Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = \frac{2L} \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin \left( \frac{\pi nx} L \right)$
 
 ### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$
-
 Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
 
-Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$
-$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
-$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
+Вычислим *коэффициенты Фурье*:
+$a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| dx = L$
+$a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
+$b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
-$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
+Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac L 2 + \frac{2L}{\pi^2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos \left( \frac{\pi nx} L \right)$