Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md

@@ -1,10 +1,8 @@
 # Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
 
 ## Введение
-
-Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
+**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
 ## Четные функции
-
 Четная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=f(-x)$. Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены:
 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$
 
@@ -13,30 +11,22 @@ $a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$
 $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим четную функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
 
 Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
+$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$
+$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
-$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$
 
 ## Нечетные функции
+Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x) = -f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены: $f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)$
 
-Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=-f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены:
-$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)$
-
-где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами:
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
+где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами: $b_n = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) dx$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим нечетную функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
 
-Вычислим коэффициенты Фурье:
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
+Вычислим коэффициенты Фурье: $b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac{2(-1)^{n+1}} n$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
-$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$