Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md

@@ -1,60 +1,47 @@
 # Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье.
 
 ## Введение
-
-Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. 
+Тригонометрический **ряд Фурье** — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций. 
 
 ## Тригонометрический ряд Фурье
-
-Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид:
-$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$
-
-где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.
+Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$, где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.
 
 ## Коэффициенты Фурье
-
 Коэффициенты Фурье $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
+$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)dx$
+$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)dx$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
 
 Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0$
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)dx=0$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
+$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x dx = 0$
+$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \cos(nx) dx = 0$
+$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac {2(-1)^{n+1}} n$
 
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
-$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$
+Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$
 
 ## Достаточное условие разложимости в ряд Фурье
 
 ### Теорема
-
 Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале $[-\pi,\pi]$. Тогда $f(x)$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
 
 ### Доказательство
-
 Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция $f(x)$ кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале $[-\pi,\pi]$, то её ряд Фурье сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
 
 ## Примеры
-
 1. **Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
-Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)dx=0$
-
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
-$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
+	Вычислим коэффициенты Фурье:
+	$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$
+	$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
+	$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \sin(nx) dx = 0$
+	
+	Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$
 
 2. **Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
-Вычислим коэффициенты Фурье:
-$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$
-$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$
-$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$
-
-Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид:
-$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
+	Вычислим коэффициенты Фурье:
+	$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 dx = \frac{2\pi^2} 3$
+	$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \cos(nx) dx = \frac{4(-1)^n}{n^2}$
+	$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \sin(nx) dx = 0$
+	
+	Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид: $f(x) = \frac{\pi^2} 3 + 4 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$