Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md

@@ -1,54 +1,34 @@
 # Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
 
 ## Гармонический ряд
-
-Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
+**Гармонический ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ ^ab323a
 
 ### Сходимость гармонического ряда
+Гармонический ряд *расходится*. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак.  ^e432ca
 
-Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:
-$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$
-
-Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как:
-$S_n \approx \ln(n) + \gamma$
-где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
-
+Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: $S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k$
+Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как $S_n \approx \ln(n) + \gamma$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
 Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда.
 
 ## Обобщенный гармонический ряд
-
-Обобщенный гармонический ряд имеет вид:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
-где $p$ — положительное число.
+**Обобщенный гармонический ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p$ — положительное число. ^e8e233
 
 ### Сходимость обобщенного гармонического ряда
-
 Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$:
-- Если $p > 1$, то ряд сходится.
+- Если $p > 1$, то ряд сходится. ^5262f4
 - Если $p \leq 1$, то ряд расходится.
 
-Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл:
-$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$
-
-Для $p > 1$:
-$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}$
-
-Для $p \leq 1$:
-$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ расходится.
-
+Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$
+- Для $p > 1$:
+	$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$
+- Для $p \leq 1$:
+	$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$ *расходится*.
 Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.
 
 ## Примеры
-
 1. **Гармонический ряд**:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
-Расходится.
-
+	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ *расходится*
 2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
-Сходится, так как $p = 2 > 1$.
-
+	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ *сходится*, так как $p = 2 > 1$.
 3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**:
-$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
-Расходится, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.
+	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ *расходится*, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.