Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md

@@ -1,61 +1,45 @@
 # Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
 
 ## Разложение функций в степенные ряды
-
-Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
-$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
+Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$
 
 ## Ряды Тейлора и Маклорена
 
 ### Ряд Тейлора
-
-Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
-$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
-
-где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
+Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$, где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
 
 ### Ряд Маклорена
-
-Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$:
-$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
+Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
 
 ### Пример
-
 Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$.
 
-Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$:
-$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
+Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
 
 ## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
 
 ### Теорема
-
-Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется:
-$|f^{(n)}(x)|\leq M$
+Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется: $|f^{(n)}(x)| \leq M$
 
 для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.
 
 ### Доказательство
-
 Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора:
-$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
+$R_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$
 
 По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
-$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
+$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$, где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
 
-где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
+Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)| \leq M$, то:
+$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} |x-x_0|^{n+1}$
 
-Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq M$, то:
-$|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$
-
-Поскольку $\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
+Поскольку $\frac M {(n+1)!} |x-x_0|^{n+1} \to 0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
 
 ## Примеры
-
 1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**:
 Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$:
-$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
+$\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
 
 2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**:
 Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$:
-$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
+$\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$