Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md

@@ -3,43 +3,58 @@
 ## Почленное интегрирование степенных рядов
 
 ### Теорема о почленном интегрировании
-
-Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
-$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
+Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
+$\int\limits_a^b \left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_a^b a_nx^ndx$
 
 ### Доказательство
-
-Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
-$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\int_{a}^{b}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\int_{a}^{b}a_nx^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
+Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
+$$
+\int_a^b \left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx = 
+\int_a^b \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_nx^ndx = \lim_{N\to\infty} \int_a^b \sum_{n=0}^N a_nx^ndx =
+\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \int_a^b a_nx^ndx =
+\sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_nx^ndx
+$$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
+Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
 
 Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно интегрируем ряд на интервале $[0,1]$:
-$\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)}=e-1$
+$$
+\int_0^1 \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) dx = 
+\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n}{n!}dx =
+\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \int_0^1 x^ndx =
+\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!(n+1)} =
+e-1
+$$
 
 ## Почленное дифференцирование степенных рядов
 
 ### Теорема о почленном дифференцировании
-
-Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
-$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
+Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
+$\left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$
 
 ### Доказательство
-
-Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
-$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
+Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
+$$
+\left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' =
+\lim_{N\to\infty} \left( \sum_{n=0}^N a_nx^n \right)' =
+\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \left( a_nx^n \right)' =
+\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N na_nx^{n-1} =
+\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
+$$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
+Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
 
 Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно дифференцируем ряд:
-$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$
+$$
+\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right)' =
+\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} =
+\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} =
+\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =
+e^x
+$$