Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md

@@ -1,47 +1,34 @@
 # Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
 
 ## Введение
-
-Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. 
+**Степенной ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. 
 
 ## Формула Коши-Адамара
-
-Формула Коши-Адамара позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
+Формула Коши-Адамара позволяет найти [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc|радиус сходимости]] степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
+Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
 
 Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
 
 ## Формула Даламбера
-
-Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
-$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
+Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$.
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0$
+Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac 1 {n+1} \right| = 0$
 
 Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$.
 
 ## Формула Коши
-
-Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
-$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
+Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
+Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|} = 1$
 
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}=1$
-
-Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
+Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.