Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md

@@ -1,60 +1,36 @@
 # Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.
 
-## Введение
-
-Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. 
-
 ## Степенной ряд
+**Степенной ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — *коэффициенты*, а $x$ — *переменная*. ^e4c1fc
 
-Степенной ряд имеет вид:
-$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
-где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная.
+**Радиус сходимости** степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ ^92c7d3
 
-## Радиус сходимости
+**Интервал сходимости** степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
 
-Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
-
-## Интервал сходимости
-
-Интервал сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
-
-## Промежуток сходимости
-
-Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$.
+**Промежуток сходимости** степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$.
 
 ## Первая теорема Абеля
+Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#^392550|сходится равномерно]] на интервале $[0,R]$.
 
-Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
-
-### Формулировка первой теоремы Абеля
-
-Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
+### Формулировка
+Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ *сходится* в точке $x=R$. Тогда ряд *сходится равномерно* на интервале $[0,R]$.
 
 ### Доказательство
+Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ выполняется $|S(R)-S_n(R)| < \varepsilon$
 
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
-$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
+Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: $|S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kx^k| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kR^k|$
 
-Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
-$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
+Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum\limits_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
 
-Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
+### Примеры
+1. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
+	Найдем радиус сходимости:
+	$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
+	
+	Таким образом, ряд сходится для всех $x \in \mathbb{R}$.
 
-## Примеры
-
-1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
-
-Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
-
-2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
-
-Найдем радиус сходимости:
-$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
-
-Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
+1. $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$
+	Найдем радиус сходимости:
+	$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1$
+	
+	Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.