Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md

@@ -3,60 +3,46 @@
 ## Свойства равномерно сходящихся рядов
 
 ### Непрерывность суммы ряда
-
-Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ непрерывны на $D$, то сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ также непрерывна на $D$.
+Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ *непрерывны* на $D$, то [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b|сумма ряда]] $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ также *непрерывна* на $D$.
 
 #### Доказательство
+Пусть $\varepsilon > 0$. По определению [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#Равномерная сходимость функциональных рядов|равномерной сходимости]], существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется $|S(x)-S_n(x)| < \frac \varepsilon 3$
 
-Пусть $\epsilon>0$. По определению равномерной сходимости, существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется:
-$|S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}$
-
-Поскольку $f_n(x)$ непрерывны, то и частичные суммы $S_n(x)$ непрерывны. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется:
-$|S_n(x)-S_n(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}$
+Поскольку $f_n(x)$ *непрерывны*, то и [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы]] $S_n(x)$ *непрерывны*. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется:
+$|S_n(x)-S_n(x_0)| < \frac \varepsilon 3$
 
 Тогда:
-$|S(x)-S(x_0)|\leq|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(x_0)|+|S_n(x_0)-S(x_0)|<\epsilon$
+$|S(x)-S(x_0)| \leq |S(x)-S_n(x)| + |S_n(x)-S_n(x_0)| + |S_n(x_0)-S(x_0)| < \varepsilon$
 
 Таким образом, $S(x)$ непрерывна на $D$.
 
 ### Почленное интегрирование
-
-Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно:
-$\int_{D}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
+Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно:
+$\int\limits_D \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_D f_n(x)dx$
 
 #### Доказательство
-
 Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд равномерно сходится, то:
-$\int_{D}S(x)dx=\int_{D}\lim_{n\to\infty}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{D}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{D}f_k(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
+$$
+\int\limits_D S(x)dx = \int\limits_D \lim_{n\to\infty} S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \int\limits_D S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_D f_k(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int\limits_D f_n(x)dx
+$$
 
 ### Почленное дифференцирование
-
-Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ также равномерно сходится на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно:
-$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
+Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и ряд из производных $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$ также *равномерно сходится* на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно: $S'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$
 
 #### Доказательство
-
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то:
-$S'(x)=\lim_{n\to\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
+Рассмотрим [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы ряда]] $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то: $S'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} S_n'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n f_k'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$
 
 ## Примеры
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$
+	Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
+	
+	Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]]**.
+	
+	Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ *непрерывны*, то и сумма ряда $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *непрерывна*.
 
-1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывна.
-
-2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывна.
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$
+	Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}$
+	
+	Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]].
+	
+	Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ *непрерывны*, то и сумма ряда $S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ *непрерывна*.