Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md

@@ -1,45 +1,36 @@
 # Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
 
 ## Введение
-
 Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант.
 
-	**Мажоранта** (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точная верхняя и нижняя границы").
+> [!Термин]
+> **Мажоранта** (от *majorer* — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точной верхней и нижней границ").
 
 ## Признак Вейерштрасса
 
-### Формулировка признака Вейерштрасса
+### Формулировка
+Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$.
 
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
-$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
+Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$.
 
-Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
 
-### Доказательство признака Вейерштрасса
+### Доказательство
+Рассмотрим [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы ряда]] $S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum\limits_{k=1}^n M_k$.
 
-Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum_{k=1}^{n}M_k$.
-
-Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
+Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
 
 Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
-$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k=T_m-T_n$
+$|S_m(x) - S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m f_k(x) \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |f_k(x)| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m M_k = T_m-T_n$
 
-Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$.
+Поскольку последовательность $T_n$ *ограничена*, то и разность $T_m-T_n$ *ограничена*. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$.
 
-## Примеры
+### Примеры
+1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$
+	Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
+	
+	Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
 
-1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
+1. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$
+	Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}$
+	
+	Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3}$ *сходится*, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.