Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md

@@ -1,45 +1,17 @@
 # Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда
 
-## Введение
-
-Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. 
-
 ## Равномерная сходимость функциональных рядов
-
-Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ называется равномерно сходящимся на множестве $D$, если для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство:
-$|S(x)-S_n(x)|<\epsilon$
-где $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — сумма ряда, а $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ — частичная сумма ряда.
+Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ называется **равномерно сходящимся** на множестве $D$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство: $|S(x)-S_n(x)| < \varepsilon$, где: ^392550
+- $S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b|сумма ряда]]
+- $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичная сумма ряда]].
 
 ## Связь между сходимостью и равномерной сходимостью
-
-Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования.
+**Равномерная сходимость** функционального ряда влечет за собой его обычную *сходимость*, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как *непрерывность* суммы ряда и возможность *почленного интегрирования* и *дифференцирования*.
 
 ### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$.
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
+Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
 
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
-
-## Признак Вейерштрасса
-
-Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
-
-### Формулировка признака Вейерштрасса
-
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
-$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
-
-Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
-
-### Пример
-
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
+Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]].