Highmath: edit

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md

@@ -1,50 +1,35 @@
 # Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.
 
 ## Введение
-
-Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. Они играют важную роль в математике и её приложениях. 
+**Функциональные ряды** — это ряды, члены которых являются функциями от переменной
 
 ## Функциональные ряды
-
-Функциональный ряд — это ряд вида:
-$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$
-где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
+**Функциональный ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$, где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
 
 ## Частичная сумма и сумма функционального ряда
+**Частичная сумма** функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда: $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ ^2cb2e9
 
-Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда:
-$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$
-
-Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$:
-$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$
+**Сумма** функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$: $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)$ ^f4f31b
 
 ## Сходимость функционального ряда
-
-Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится в точке $x_0$, если существует конечный предел:
-$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)$
+Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *сходится* в точке $x_0$, если существует конечный предел: $\lim\limits_{n\to\infty} S_n(x_0)$
 
 ## Область сходимости функционального ряда
-
-Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек $x$, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
+**Область сходимости** функционального ряда — это множество всех точек, в которых ряд *сходится*. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
 
 ## Признаки сходимости функциональных рядов
 
 ### Признак Вейерштрасса
-
-Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
+**Признак Вейерштрасса** позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
 
 #### Формулировка признака Вейерштрасса
+Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$.
 
-Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
-$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
+Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$.
 
-Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
+#### Пример
+Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$.
 
-### Пример
+Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
 
-Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
-
-Оценим $|f_n(x)|$:
-$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
-
-Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
+Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.