125 lines
4.1 KiB
Markdown
125 lines
4.1 KiB
Markdown
|
>Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Определение:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Формула Тейлора для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Здесь $f'_x(x_0, y_0)$ и $f'_y(x_0, y_0)$ - частные производные функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$, $o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})$ - остаточный член в форме Пеано.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Замечание:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot \alpha(x, y)
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Свойства формулы Тейлора:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. Линейность:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. Произведение функций:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
3. Частное функций:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
4. Связь между частными производными и дифференциалами:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Примеры:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решение:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ответ: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. Найти приближенное значение функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1,1, 2, 201)$ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решение:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ответ: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.
|
|||
|
|
|