43 lines
2.4 KiB
Markdown
43 lines
2.4 KiB
Markdown
|
Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. Булева алгебра и её основные свойства
|
|||
|
|
Система $<A, \{\&, |, \bar{}, 0, 1 \}>$
|
|||
|
|
Множество **А**
|
|||
|
|
2 элемента: **0, 1**
|
|||
|
|
2 бинарных операций: &, |
|
|||
|
|
Унарная операция: $\bar{}$
|
|||
|
|
со следующими свойствами:
|
|||
|
|
1. Ассоциативность
|
|||
|
|
$x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$
|
|||
|
|
$x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$
|
|||
|
|
2. Коммутативность
|
|||
|
|
$x \wedge y = y \wedge x$
|
|||
|
|
$x \vee y = y \vee x$
|
|||
|
|
3. Дистрибутивность
|
|||
|
|
$x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
|
|||
|
|
$x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$
|
|||
|
|
4. Идемпотентность
|
|||
|
|
$x \wedge x = x$, $x \vee x = x$
|
|||
|
|
2. Основные функции
|
|||
|
|
1. Законы де Моргана
|
|||
|
|
$\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$
|
|||
|
|
$\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$
|
|||
|
|
2. Закон двойного отрицания
|
|||
|
|
$\bar{\bar x} = x$
|
|||
|
|
3. Закон противоречия (исключённого третьего)
|
|||
|
|
$x \wedge \bar x = 0$
|
|||
|
|
$x \vee \bar x = 1$
|
|||
|
|
4. Свойства констант
|
|||
|
|
$x \wedge 0 = 0$, $x \vee 1 = 1$
|
|||
|
|
$x \wedge 1 = x$, $x \vee 0 = x$
|
|||
|
|
$\bar1 = 0$, $\bar0 = 1$
|
|||
|
|
5. Законы поглощения
|
|||
|
|
$x \wedge (x \vee y) = x$
|
|||
|
|
$x \vee (x \wedge y) = x$
|
|||
|
|
6. Закон Блейка-Порецкого
|
|||
|
|
$x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$
|
|||
|
|
$x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$
|
|||
|
|
3. **Булева формула** - формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1
|
|||
|
|
4. Нормальные формы (ДНФ и КНФ)
|
|||
|
|
- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты
|
|||
|
|
- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 * D_2 * \dots * D_m$,, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции
|