48 lines
3.2 KiB
Markdown
48 lines
3.2 KiB
Markdown
|
# Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Введение
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость знакоположительных рядов, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Формулировка интегрального признака
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд:
|
|||
|
|
$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл:
|
|||
|
|
$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Доказательство интегрального признака
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n=\int_{1}^{n}f(x)dx$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку $f(x)$ убывает, можно записать неравенства:
|
|||
|
|
$f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем:
|
|||
|
|
$\sum_{k=2}^{n}f(k)\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Или, что эквивалентно:
|
|||
|
|
$S_n-f(1)\leq I_n\leq S_{n-1}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Аналогично, если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Примеры
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. **Гармонический ряд**:
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
|
|||
|
|
$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ также расходится.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. **Обобщенный гармонический ряд**:
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$, где $p>1$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
|
|||
|
|
$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\left[-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ также сходится при $p>1$.
|