46 lines
2.6 KiB
Markdown
46 lines
2.6 KiB
Markdown
|
# Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Введение
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Признак Даламбера
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
|
|||
|
|
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
|
|||
|
|
- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
|
|||
|
|
- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим предел:
|
|||
|
|
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Признак Коши (корневой признак)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
|
|||
|
|
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
|
|||
|
|
- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
|
|||
|
|
- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим предел:
|
|||
|
|
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши.
|