63 lines
4.5 KiB
Markdown
63 lines
4.5 KiB
Markdown
|
# Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Свойства равномерно сходящихся рядов
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Непрерывность суммы ряда
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ непрерывны на $D$, то сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ также непрерывна на $D$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Доказательство
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $\epsilon>0$. По определению равномерной сходимости, существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется:
|
|||
|
|
$|S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку $f_n(x)$ непрерывны, то и частичные суммы $S_n(x)$ непрерывны. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется:
|
|||
|
|
$|S_n(x)-S_n(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Тогда:
|
|||
|
|
$|S(x)-S(x_0)|\leq|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(x_0)|+|S_n(x_0)-S(x_0)|<\epsilon$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, $S(x)$ непрерывна на $D$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Почленное интегрирование
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно:
|
|||
|
|
$\int_{D}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Доказательство
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд равномерно сходится, то:
|
|||
|
|
$\int_{D}S(x)dx=\int_{D}\lim_{n\to\infty}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{D}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{D}f_k(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Почленное дифференцирование
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ также равномерно сходится на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно:
|
|||
|
|
$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Доказательство
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то:
|
|||
|
|
$S'(x)=\lim_{n\to\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Примеры
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Оценим $|f_n(x)|$:
|
|||
|
|
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывна.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Оценим $|f_n(x)|$:
|
|||
|
|
$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывна.
|