47 lines
3.5 KiB
Markdown
47 lines
3.5 KiB
Markdown
|
Замена переменных в определенном интеграле
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Формула замены переменных
|
|||
|
|
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, и пусть функция $\varphi(t)$ дифференцируема на отрезке $[\alpha, \beta]$ и при этом $\varphi' (t) \ne 0$ на этом отрезке. Предположим, что $x = \varphi(t)$ - замена переменных, при которой $\varphi(\alpha) = a$ и $\varphi(\beta) = b$. Тогда определенный интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ можно вычислить по формуле:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\int_a^b f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Здесь $f(\varphi(t))$ - функция $f(x)$, в которой выполнена замена переменных $x = \varphi(t)$, а $\varphi'(t)$ - производная функции $\varphi(t)$ по переменной $t$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Геометрический смысл
|
|||
|
|
Геометрически замена переменных в определенном интеграле означает, что мы деформируем область интегрирования таким образом, чтобы она стала более простой. При этом значение интеграла не меняется, так как мы учитываем изменение масштаба при деформации.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Примеры
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. Вычислим интеграл $\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx$.
|
|||
|
|
Заменим переменную $x = \sin t$, где $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Тогда $dx = \cos t \, dt$ и $\sqrt{1 - x^2} = \cos t$. Подставляя эти выражения в интеграл, получаем:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos^2 t \, dt.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь мы можем воспользоваться формулой редукции для интеграла от степени синуса или косинуса и вычислить интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos^2 t \, dt = \left[ -\frac{1}{3} \cos^3 t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{3} \cos^3 \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} \cos^3 0 = \frac{1}{3}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. Вычислим интеграл $\int_0^2 x e^{x^2} \, dx$.
|
|||
|
|
Заменим переменную $u = x^2$, тогда $du = 2x \, dx$ и $x \, dx = \frac{1}{2} du$. Пределы интегрирования при замене переменных изменятся следующим образом: $u(0) = 0^2 = 0$ и $u(2) = 2^2 = 4$. Подставляя эти выражения в интеграл, получаем:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\int_0^2 x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^4 e^u \, du.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь мы можем легко вычислить интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\frac{1}{2} \int_0^4 e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^4 = \frac{1}{2} (e^4 - e^0) = \frac{1}{2} (e^4 - 1).
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Правила замены переменных
|
|||
|
|
- Функция $\varphi(t)$ должна быть дифференцируема на отрезке $[\alpha, \beta]$;
|
|||
|
|
- Производная $\varphi'(t)$ не должна обращаться в ноль на отрезке $[\alpha, \beta]$;
|
|||
|
|
- Пределы интегрирования должны соответствовать образу функции $\varphi(t)$ на отрезке $[\alpha, \beta]$.
|