74 lines
2.9 KiB
Markdown
74 lines
2.9 KiB
Markdown
|
# Язык логики первого порядка
|
||
|
|
> [!Легенда]
|
||
|
|
> $U$ - универс
|
||
|
|
> Предикат - высказывание, отношение
|
||
|
|
|
||
|
|
$U^k = \set{(u_1 \dots u_k) | u_i \in U}$
|
||
|
|
$\rho \subset U^k$ определяет k-ый предикат
|
||
|
|
$\rho(u_1 \dots u_k) = 1 \Leftrightarrow (u_1 \dots u_k) \in rho$
|
||
|
|
$\phi \subset U^{k+1}$
|
||
|
|
$\phi(a_1 \dots a_k, f(a_1 \dots a_k)) = 1$
|
||
|
|
|
||
|
|
$y = x^2$
|
||
|
|
$\phi = \set{(x, x^2) | x \in \mathbb R}$
|
||
|
|
$\phi^{-1} = \set{(x^2, x) | x \in \mathbb R}$
|
||
|
|
$y = \sqrt x$
|
||
|
|
|
||
|
|
1. Нелогические символы
|
||
|
|
1. Обозначения функций
|
||
|
|
2. Обозначения предметов
|
||
|
|
3. Обозначения констант
|
||
|
|
4. Имена переменных
|
||
|
|
|
||
|
|
2. Логические символы
|
||
|
|
1. Конъюнкция
|
||
|
|
2. Отрицание
|
||
|
|
3. Дизъюнкция
|
||
|
|
4. Логическое следование
|
||
|
|
5. Квантры ($\forall$, $\exists$)
|
||
|
|
|
||
|
|
3. Терм
|
||
|
|
1. Переменные и константы
|
||
|
|
2. $f(x_1 \dots x_k)$ - функция и $t_1 \dots t_k$ - термы $\rightarrow f(t_1 \dots t_k)$ - терм
|
||
|
|
*Примеры*: $e^x$, $\sin x$, $+$, $\times$, $\pi$, $\frac{\sin(x+y)\times e^z}e$
|
||
|
|
|
||
|
|
4. Формулы (высказывания)
|
||
|
|
1. $p(x_1 \dots x_k)$ - предикат, $t_1, \dots, t_k$ - термы, $p(t_1 \dots t_k)$ - формула (атом)
|
||
|
|
2. $A, B$ - формулы тогда, $\bar A$, $A \& B$, $A \vee B$, $A \rightarrow B$ - формулы
|
||
|
|
3. $A(x)$ - формула $\exists x: A(x)$ и $\forall x: A(x)$ - формулы
|
||
|
|
*Пример*: $\forall x: f(p(x)) \rightarrow \exists y: p(f(y))$
|
||
|
|
|
||
|
|
$U = N; 0 \in \mathbb N$
|
||
|
|
$x > y: \exists z, \overline{z = 0}: y + z = x$
|
||
|
|
$\forall x: A(x) = \bigwedge\limits_{u \in U} A(u)$
|
||
|
|
$\forall x: P(x) \vee \forall x: F(x) = \forall x: P(x) \vee \forall y: F(y)$
|
||
|
|
$\forall p: \left[ \left[ P(1) \& (\forall n: P(n) \rightarrow P(n+1)) \right] \rightarrow \forall n: P(n) \right]$
|
||
|
|
$P(x): \forall y \forall z: (x=y,z) \rightarrow (y=1 \vee \exists \nu: y = \nu+\nu)$
|
||
|
|
---
|
||
|
|
Термы:
|
||
|
|
$c \in Cn \Rightarrow c$ - терм
|
||
|
|
$x \in Var \Rightarrow x$ - терм
|
||
|
|
$f \in Fn; t_1, \dots, t_k$ - термы
|
||
|
|
$\Rightarrow f(t_1, \dots, t_k)$ - терм
|
||
|
|
|
||
|
|
> [!Пример]
|
||
|
|
> $L(x, y)$ - x любит y
|
||
|
|
> $C(x)$ - корова ли
|
||
|
|
> $h$ - сено
|
||
|
|
> $\forall x C(x) \rightarrow L(x, h)$ - все коровы любят сено
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
---
|
||
|
|
## Формулы
|
||
|
|
1. Задаём утверждение U
|
||
|
|
$P(x_1, \dots, x_k)$ - к-местный предикант
|
||
|
|
$P^I(x_1, \dots, x_k)$ - конкретный предикант на U
|
||
|
|
$f(x_1, \dots, x_k) \rightarrow f^I(x_1, \dots, x_k)$
|
||
|
|
2. Инт. термов
|
||
|
|
$(f(t_1, \dots, t_k))^I = f^I(t^I_1, \dots, t^I_k)$
|
||
|
|
3. Инт. связок
|
||
|
|
$F=\bar A \rightarrow F^I=\overline{A^I}$
|
||
|
|
$F = A \vee B \rightarrow F^I = A^I \vee B^I$
|
||
|
|
$F = A\&B \rightarrow F^I=B^I\&B^I$
|
||
|
|
$(F = A \rightarrow B) \rightarrow (F^I = A^I \rightarrow B^I)$
|
||
|
|
|