41 lines
2.2 KiB
Markdown
41 lines
2.2 KiB
Markdown
|
# Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Введение
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Признак Лейбница
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида:
|
|||
|
|
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$
|
|||
|
|
где $b_n$ — положительные числа.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
|
|||
|
|
1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$.
|
|||
|
|
2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Проверим условия признака Лейбница:
|
|||
|
|
1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$.
|
|||
|
|
2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
|
|||
|
|
$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$
|
|||
|
|
где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Оценка остатка после $n$ членов:
|
|||
|
|
$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.
|