40 lines
3.1 KiB
Markdown
40 lines
3.1 KiB
Markdown
|
Суперпозиция функций. Замыкание системы функций. Свойства замыкания. Полная система функций. Теорема сведения.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Суперпозиция функций
|
|||
|
|
**Суперпозиция** функции из множества A -
|
|||
|
|
1. любая выходная функция схемы, где разрешено использовать только функции множества A
|
|||
|
|
2. функция, которая может быть получена из A операциями _переименования переменных_ и _подстановки_
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Полная система** функций - набор функциональных элементов, с помощью которых можно построить схему для любой функции
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Операции над функциями
|
|||
|
|
1. **Переименование переменных** - переменным даются новые имена
|
|||
|
|
$f(x_1, x_2, \dots, x_n) \rightarrow f(y_1, y_2, \dots, y_n)$
|
|||
|
|
**Отождествление переменных** - разные переменные получают одно имя ($x_1 = x_2 = z$)
|
|||
|
|
1. **Подстановка** - вместо переменной подставляется функция
|
|||
|
|
$f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
|
|||
|
|
# Замыкание системы функций
|
|||
|
|
**Замыкание** множества А (\[A\]) -
|
|||
|
|
1. множество всех суперпозиций функция из A
|
|||
|
|
2. множество всех функций, для которых возможно построить схему с функциональными элементами А
|
|||
|
|
**Замкнутый** класс функций - класс функций, совпадающий со своим замыканием (A = \[A\])
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Свойства замыкания
|
|||
|
|
- $A \subseteq [A]$
|
|||
|
|
- $[[A]] = [A]$
|
|||
|
|
- Если $A \subseteq B$, то $[A] \subseteq [B]$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Полная система функций
|
|||
|
|
$P_2$ - класс всех логических функций
|
|||
|
|
**Полная система** функций -
|
|||
|
|
1. множество функций, где любая функция является суперпозицией функций из этого множества
|
|||
|
|
2. множество A, что $[A] = P_2$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Теорема сведения
|
|||
|
|
###### Теорема
|
|||
|
|
Пусть A и B - множества функций. A - полная система и каждая функция из A - суперпозиция функций из B. Тогда B - тоже полная система
|
|||
|
|
|
|||
|
|
###### Доказательство
|
|||
|
|
Если A - суперпозиция функций из B, то $A \subseteq [B]$. По свойству замыкания, $[A] \subseteq [B]$. Т.к. A - полная система, то $[A] = P_2 \Rightarrow P_2 \subseteq [B]$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$P_2$ состоит из всех лог. функций, значит $[B] \subseteq P_2 \Rightarrow P_2 = [B]$, что значит, что B - полная система
|