# Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения

## Ряды с неотрицательными членами

Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде:
$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $
где $ a_n \geq 0 $ для всех $ n $.

## Признаки сравнения

Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна.

### Первый признак сравнения

Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряда с неотрицательными членами, и пусть $0 \leq a_n \leq b_n$ для всех $n$.

- Если ряд $\sum b_n$ сходится, то и ряд $\sum a_n$ сходится.
- Если ряд $\sum a_n$ расходится, то и ряд $\sum b_n$ расходится.

### Второй признак сравнения (предельный признак сравнения)

Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел:
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$

- Если $0 < L < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.
- Если $L = 0$ и ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ также сходится.
- Если $L = \infty$ и ряд $\sum b_n$ расходится, то ряд $\sum a_n$ также расходится.

## Примеры

1. **Сравнение с гармоническим рядом**:
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

Сравним его с гармоническим рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, который расходится.

Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения).

2. **Предельный признак сравнения**:
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$.

Сравним его с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$.

Вычислим предел:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$

Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac{3}{2} > 1$), то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ сходится (по второму признаку сравнения).