62 lines
4.2 KiB
Markdown
62 lines
4.2 KiB
Markdown
|
> Покомпонентный порядок. Монотонные функции. Замкнутость класса 𝑀. Лемма о немонотонной функции
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Покомпонентный порядок
|
|||
|
|
**Покомпонентно меньше или равно** ($\preceq$) - $a \preceq b \Leftrightarrow \forall i \in \overline{1..n}: a_i \le b_i$ - отношение порядка (рефлексивно, антисимметрично и транзитивно)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Диаграмма Хассе упорядоченного множества наборов длины 3 по отношению $\preceq$.
|
|||
|
|
```mermaid
|
|||
|
|
flowchart TD
|
|||
|
|
1,1,1 --> 0,1,1
|
|||
|
|
1,1,1 --> 1,0,1
|
|||
|
|
1,1,1 --> 1,1,0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1,1,0 --> 1,0,0
|
|||
|
|
1,0,1 --> 1,0,0 --> 0,0,0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1,1,0 --> 0,1,0
|
|||
|
|
0,1,1 --> 0,1,0 --> 0,0,0
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1,0,1 --> 0,0,1
|
|||
|
|
0,1,1 --> 0,0,1 --> 0,0,0
|
|||
|
|
```
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Монотонные функции
|
|||
|
|
**Монотонная функция** (класс М) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$, если $f(\tilde a) \le f(\tilde b)$ для любых $\tilde a \preceq \tilde b$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Замкнутость класса 𝑀
|
|||
|
|
## Теорема
|
|||
|
|
Класс M замкнут
|
|||
|
|
## Доказательство
|
|||
|
|
Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in M$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in M$
|
|||
|
|
Рассмотрим $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
|
|||
|
|
Тогда $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, y_1, y_2, \dots, y_m) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m))$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Возьмём 2 набора значений переменных функции h: $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m)$ и $(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$ такие, что $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) \preceq (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Обозначим $\gamma^` = g(\beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m), \gamma^{``} = g(\beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Тогда $y^` \le y^{``}$ и $(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) \preceq (\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$, а раз $f \in M$, $f(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`) \le f(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Заметим, что
|
|||
|
|
$h(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) = f(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \gamma^`)$
|
|||
|
|
$h(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m) = f(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \gamma^{``})$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Т.е. $h(\alpha^`_1, \alpha^`_2, \dots, \alpha^`_{n-1}, \beta^`_1, \beta^`_2, \dots, \beta^`_m) \le h(\alpha^{``}_1, \alpha^{``}_2, \dots, \alpha^{``}_{n-1}, \beta^{``}_1, \beta^{``}_2, \dots, \beta^{``}_m)$
|
|||
|
|
Так что $h \in M$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Лемма о немонотонной функции
|
|||
|
|
## Лемма
|
|||
|
|
Если функция 𝑓 немонотонна, то функция $\bar 𝑥$ является суперпозицией функций f, 0 и 1. То есть если $f \notin M$, то $\bar x \in [\{f, 0, 1\}]$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Доказательство
|
|||
|
|
Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin M$. Тогда существуют такие наборы значений переменных $\tilde\alpha$ и $\tilde\beta$, что $\tilde\alpha \prec^* \tilde\beta$ (соседние) и $f(\tilde\alpha) > f(\tilde\beta)$ (Т.е. $f(\tilde\alpha) = 1$ и $f(\tilde\beta) = 0$)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Т.к. $\tilde\alpha \prec^* \tilde\beta$, то
|
|||
|
|
$\tilde\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 0, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$
|
|||
|
|
$\tilde\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 1, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Введём функцию $h(x) = f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, x, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n)$
|
|||
|
|
$h(0) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 0, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) = f(\tilde\alpha) = 1$
|
|||
|
|
$h(1) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{k-1}, 1, \alpha_{k+1}, \dots, \alpha_n) = f(\tilde\alpha) = 0$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Следовательно, $h(x) = \bar x$
|