92 lines
3.8 KiB
Markdown
92 lines
3.8 KiB
Markdown
|
>Понятие ДУ 1-го порядка, решение ДУ, задача Коши, геометрический смысл ДУ и его решения. Понятия общего и частного решений для ДУ 1-го порядка.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Определение:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
F(x, y, y') = 0
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $F$ - некоторая функция от трех переменных $x, y, y'$, $y'$ - первая производная функции $y$ по переменной $x$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется любая функция $y = f(x)$, удовлетворяющая этому уравнению на некотором интервале, т.е. такая, что:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
F(x, f(x), f'(x)) = 0
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
для всех $x$ из некоторого интервала.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка состоит в нахождении решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию вида:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y(x_0) = y_0
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $x_0$ и $y_0$ - заданные числа.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка заключается в том, что оно определяет направление касательной к графику решения уравнения в каждой точке. Решение уравнения - это кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление, заданное дифференциальным уравнением.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Понятия общего и частного решений для дифференциального уравнения 1-го порядка:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется множество всех решений уравнения, зависящих от произвольной постоянной.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется конкретное решение уравнения, полученное из общего решения путем присваивания произвольной постоянной определенного значения.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Примеры:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y' = 2x
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решение:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Интегрируем обе части уравнения:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y = x^2 + C
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $C$ - произвольная постоянная.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ответ: Общее решение дифференциального уравнения $y' = 2x$ имеет вид $y = x^2 + C$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. Найти частное решение дифференциального уравнения 1-го порядка:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y' = 2x
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
с начальным условием $y(1) = 2$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решение:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Найдем общее решение уравнения:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y = x^2 + C
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Подставим начальное условие:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
2 = 1^2 + C
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Найдем значение произвольной постоянной:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
C = 1
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Подставим значение произвольной постоянной в общее решение:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y = x^2 + 1
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ответ: Частное решение дифференциального уравнения $y' = 2x$ с начальным условием $y(1) = 2$ имеет вид $y = x^2 + 1$.
|