57 lines
4.4 KiB
Markdown
57 lines
4.4 KiB
Markdown
|
## Формула Стокса
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Формулировка теоремы Стокса
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $S$ — ориентированная поверхность в трёхмерном пространстве, ограниченная замкнутой кривой $C$, и пусть $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определённое на $S$ и $C$. Тогда:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $\nabla\times\mathbf{F}$ — ротор векторного поля $\mathbf{F}$, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Доказательство теоремы Стокса
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Доказательство теоремы Стокса основано на применении теоремы Грина и свойств ротора векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы о циркуляции векторного поля и теоремы о потоке векторного поля через замкнутую кривую.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Применение теоремы Стокса
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теорема Стокса имеет множество приложений в физике и математике. Рассмотрим несколько примеров.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Пример 1: Вычисление циркуляции векторного поля
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и замкнутую кривую $C$, параметризованную как $(x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t)$ для $t \in [0, 2\pi]$. Поверхность $S$ — это диск, ограниченный этой кривой.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сначала вычислим ротор векторного поля:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\y&x&z\end{matrix}\right|=\mathbf{i}(0-0)-\mathbf{j}(0-1)+\mathbf{k}(1-1)=-\mathbf{j}.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь применим теорему Стокса:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\mathbf{n}\,dS.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Единичный вектор нормали $\mathbf{n}$ к поверхности $S$ можно вычислить как:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\mathbf{n}=\frac{\nabla(z-x^2-y^2)}{|\nabla(z-x^2-y^2)|}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\frac{(-2y)\mathbf{j}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS=\iint_{S}\frac{2y}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим этот интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{S}\frac{2y}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Пример 2: Вычисление потока векторного поля
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и замкнутую кривую $C$, параметризованную как $(x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t)$ для $t \in [0, 2\pi]$. Поверхность $S$ — это диск, ограниченный этой кривой.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сначала вычислим ротор векторного поля:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\x&y&z\end{matrix}\right|=\mathbf{i}(0-0)-\mathbf{j}(0-0)+\mathbf{k}(1-1)=0.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь применим теорему Стокса:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}0\cdot\mathbf{n}\,dS=0.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутой кривой равна нулю.
|