64 lines
4.5 KiB
Markdown
64 lines
4.5 KiB
Markdown
|
## Поверхностные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Определение поверхностного интеграла второго рода
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поверхностный интеграл второго рода векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ по поверхности $S$, параметризованной как $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ для $(u, v) \in D$, определяется как:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$, а $d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS$ — векторный элемент площади поверхности.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если поверхность $S$ задана уравнением $z = f(x, y)$, то:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{D}(-P\frac{\partial f}{\partial x}-Q\frac{\partial f}{\partial y}+R)\,dx\,dy,$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $D$ — проекция поверхности $S$ на плоскость $xy$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Теорема существования поверхностного интеграла второго рода
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теорема существования поверхностного интеграла второго рода утверждает, что если компоненты векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z)$ непрерывны на поверхности $S$, то поверхностный интеграл $\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ существует.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Свойства поверхностных интегралов второго рода
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. **Линейность**:
|
|||
|
|
- Если $\mathbf{F}$ и $\mathbf{G}$ — векторные поля, интегрируемые по поверхности $S$, то для любых констант $a$ и $b$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{S}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})\cdot d\mathbf{S}=a\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+b\iint_{S}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S}.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. **Аддитивность**:
|
|||
|
|
- Если поверхность $S$ состоит из двух частей $S_1$ и $S_2$, то:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
3. **Обращение направления нормали**:
|
|||
|
|
- Если изменить направление нормали $\mathbf{n}$ на противоположное, то:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot(-\mathbf{n})\,dS=-\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Вычисление поверхностного интеграла второго рода
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим пример вычисления поверхностного интеграла второго рода векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ по поверхности $S$, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сначала найдем нормаль к поверхности:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\mathbf{n}=\frac{\nabla(z-x^2-y^2)}{|\nabla(z-x^2-y^2)|}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла второго рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy,$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $D$ — круг радиуса $R$ на плоскости $xy$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-2r^2+r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Упростим интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь вычислим внутренний интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
|