120 lines
6.6 KiB
Markdown
120 lines
6.6 KiB
Markdown
|
## Приложения поверхностных интегралов первого рода
|
|||
|
|
### Вычисление площади поверхности
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Площадь поверхности $S$ можно вычислить с помощью поверхностного интеграла первого рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$A=\iint_{S}dS.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если поверхность $S$ параметризована как $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ для $(u, v) \in D$, то площадь поверхности можно вычислить как:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$A=\iint_{D}\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv,$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $E$, $G$ и $F$ — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$E=\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2,$$
|
|||
|
|
$$G=\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2,$$
|
|||
|
|
$$F=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим пример вычисления площади поверхности, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сначала параметризуем поверхность:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$x=r\cos\theta,$$
|
|||
|
|
$$y=r\sin\theta,$$
|
|||
|
|
$$z=r^2.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$E=\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2=(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2+(2r)^2=1+4r^2,$$
|
|||
|
|
$$G=\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial\theta}\right)^2=(-r\sin\theta)^2+(r\cos\theta)^2+0=r^2,$$
|
|||
|
|
$$F=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial z}{\partial\theta}=0.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$A=\iint_{D}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим внутренний интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Вычисление массы поверхности
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Масса поверхности $S$ с плотностью $\rho(x, y, z)$ можно вычислить с помощью поверхностного интеграла первого рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$M=\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим пример вычисления массы поверхности, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, с плотностью $\rho(x, y, z) = 1$. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сначала параметризуем поверхность:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$x=r\cos\theta,$$
|
|||
|
|
$$y=r\sin\theta,$$
|
|||
|
|
$$z=r^2.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$E=1+4r^2,$$
|
|||
|
|
$$G=r^2,$$
|
|||
|
|
$$F=0.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$M=\iint_{D}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим внутренний интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Вычисление центра масс поверхности
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Координаты центра масс поверхности $S$ с плотностью $\rho(x, y, z)$ можно вычислить с помощью поверхностных интегралов первого рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$x_c=\frac{\iint_{S}x\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS},$$
|
|||
|
|
$$y_c=\frac{\iint_{S}y\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS},$$
|
|||
|
|
$$z_c=\frac{\iint_{S}z\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS}.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Вычисление моментов инерции поверхности
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Моменты инерции поверхности $S$ относительно осей $x$, $y$ и $z$ можно вычислить с помощью поверхностных интегралов первого рода:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$I_x=\iint_{S}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dS,$$
|
|||
|
|
$$I_y=\iint_{S}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dS,$$
|
|||
|
|
$$I_z=\iint_{S}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dS.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим пример вычисления момента инерции поверхности, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, с плотностью $\rho(x, y, z) = 1$. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сначала параметризуем поверхность:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$x=r\cos\theta,$$
|
|||
|
|
$$y=r\sin\theta,$$
|
|||
|
|
$$z=r^2.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$E=1+4r^2,$$
|
|||
|
|
$$G=r^2,$$
|
|||
|
|
$$F=0.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла для момента инерции относительно оси $z$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$I_z=\iint_{S}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dS=\iint_{D}(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Упростим интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\iint_{D}r^2\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr\,d\theta.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим внутренний интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$\int_{0}^{R}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr.$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции.
|