121 lines
5.0 KiB
Markdown
121 lines
5.0 KiB
Markdown
|
>Линейные ДУ 1-го порядка. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Метод интегрирования линейного неоднородного уравнения (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. Линейные ДУ 1-го порядка
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \tag{1}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $y = y(x)$ - неизвестная функция, $x$ - независимая переменная, $P(x)$ и $Q(x)$ - непрерывные функции на некотором интервале $(a, b)$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (решения с нулевым правой частью) и одного частного решения неоднородного уравнения:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y(x) = y_0(x) + y_p(x) \tag{2}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $y_0(x)$ - общее решение однородного уравнения $\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$, а $y_p(x)$ - частное решение неоднородного уравнения (1).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
3. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (1) можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольной постоянной. Этот метод заключается в следующем:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- Найти общее решение однородного уравнения $y_0(x) = C \cdot e^{-\int P(x) dx}$, где $C$ - произвольная постоянная.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- Предположить, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид $y_p(x) = C(x) \cdot e^{-\int P(x) dx}$, где $C(x)$ - некоторая функция от $x$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- Найти функцию $C(x)$, подставляя $y_p(x)$ в уравнение (1) и решая полученное дифференциальное уравнение относительно $C(x)$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- Найти частное решение $y_p(x)$ и построить общее решение неоднородного уравнения (1) по формуле (2).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
4. Примеры решения линейных неоднородных ДУ 1-го порядка
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим несколько примеров решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с помощью метода Лагранжа вариации произвольной постоянной.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пример 1. Решить уравнение:
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\frac{dy}{dx} + y = e^x \tag{3}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения $\frac{dy}{dx} + y = 0$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y_0(x) = C \cdot e^{-\int dx} = C \cdot e^{-x}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Предположим, что частное решение неоднородного уравнения (3) имеет вид $y_p(x) = C(x) \cdot e^{-x}$. Подставим это выражение в уравнение (3):
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
-C(x)e^{-x} + C'(x)e^{-x} + C(x)e^{-x} = e^x
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Отсюда находим $C'(x)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
C'(x) = e^{2x}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Интегрируя эту функцию, получим $C(x)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
C(x) = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Найдем частное решение $y_p(x)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y_p(x) = C(x) \cdot e^{-x} = \frac{1}{2}e^x
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Общее решение уравнения (3):
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y(x) = y_0(x) + y_p(x) = C \cdot e^{-x} + \frac{1}{2}e^x \tag{4}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пример 2. Решить уравнение:
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x^3 \tag{5}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = 0$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y_0(x) = C \cdot e^{\int \frac{2}{x} dx} = C \cdot x^2
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Предположим, что частное решение неоднородного уравнения (5) имеет вид $y_p(x) = C(x) \cdot x^2$. Подставим это выражение в уравнение (5):
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
2C(x)x + C'(x)x^2 - 2C(x)x = x^3
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Отсюда находим $C'(x)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
C'(x) = x
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Интегрируя эту функцию, получим $C(x)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
C(x) = \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Найдем частное решение $y_p(x)$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y_p(x) = C(x) \cdot x^2 = \frac{1}{2}x^4
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Общее решение уравнения (5):
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
y(x) = y_0(x) + y_p(x) = C \cdot x^2 + \frac{1}{2}x^4 \tag{6}
|
|||
|
|
$$
|