# Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

## Введение
**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
## Четные функции
Четная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=f(-x)$. Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены:
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$

где коэффициенты $a_n$ определяются следующими формулами:
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$

### Пример
Рассмотрим четную функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$.

Вычислим коэффициенты Фурье:
$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$
$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$

Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$

## Нечетные функции
Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x) = -f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены: $f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)$

где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами: $b_n = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) dx$

### Пример
Рассмотрим нечетную функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.

Вычислим коэффициенты Фурье: $b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac{2(-1)^{n+1}} n$

Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$
